Der Schießhund ist ein Begriff aus der Jägersprache. Er hat die Aufgabe, angeschossenes Wild aufzuspüren: Deswegen muss er genau aufpassen bzw. extrem aufmerksam sein.

Wenn wir heute die Redewendung "Aufpassen wie ein Schießhund" nutzen, dann meinen wir, dass etwas besonderer Aufmerksamkeit bedarf. Wir müssen aufpassen bzw. sollten genau hinschauen, hören etc. 

Jim: "Du willst morgen einen Gebrauchtwagen kaufen."
John: "Ja, ich fahr zum Automarkt."
Jim: "Dann viel Glück. Da musst Du aber aufpassen wie ein Schießhund."